高等数学极限与连续解题主线思维导图
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思维导图大纲
高等数学极限与连续解题主线
函数基础
- 有界性、单调性、奇偶性、周期性四个基本性质
- 复合函数与反函数，反函数图像关于 y=x 对称
- 基本初等函数在其定义区间内连续
数列极限
定义
- ε-N 语言：对任意 ε>0，存在正整数 N，当 n>N 时 |an − A| < ε
三个性质
- 唯一性：极限若存在则唯一
- 有界性：收敛数列必有界，有界不一定收敛
- 保号性：极限为正则从某项起数列为正
两个收敛准则
- 单调有界准则：单调递增有上界必收敛
- 夹逼准则：an ≤ bn ≤ cn 且两端极限相同，则中间也收敛于该值
函数极限
定义
- ε-δ 语言；左极限记 f(x0−)，右极限记 f(x0+)
- 极限存在的充要条件是左右极限存在且相等
两个重要极限
- lim(x→0) sinx ÷ x = 1
- lim(x→∞)（1 + 1/x）^x = e
- 等价形式 lim(x→0)（1 + x）^(1/x) = e
无穷小与无穷大
- 无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小
- 无穷大与无穷小互为倒数关系
- 有限个无穷小的和、积仍为无穷小
极限运算
四则运算前提
- 各自极限都存在，且分母极限不为零
等价无穷小替换
- x→0 时 sinx、tanx、arcsinx、arctanx、ln(1+x)、e^x−1 都与 x 等价
- 1−cosx 等价于 x²/2
- x−sinx 等价于 x³/6，tanx−x 等价于 x³/3
- 替换只能在乘除因子中使用，加减项中直接替换容易出错
洛必达法则
- 仅适用于 0/0 与 ∞/∞ 型
- 使用前必须验证分子分母同时趋于 0 或同时趋于无穷
- 求导后仍是未定式可重复使用，但要注意循环
泰勒展开
- e^x = 1 + x + x²/2! + o(x²)
- sinx = x − x³/3! + o(x³)
- cosx = 1 − x²/2! + o(x²)
- ln(1+x) = x − x²/2 + o(x²)
未定式转化
- 0·∞ 转化为 0/0 或 ∞/∞，把其中一个取倒数
- ∞−∞ 先通分或有理化
- 1^∞ 型用 lim α·β 求极限再取 e 的幂
- 0^0 与 ∞^0 先取对数再求极限
连续
连续的定义
- lim(x→x0) f(x) = f(x0)
- 三个要素缺一不可：f(x0) 有定义、极限存在、极限值等于函数值
间断点分类
- 第一类间断点：左右极限都存在
- 可去间断点：左右极限相等但不等于函数值
- 跳跃间断点：左右极限不相等
- 第二类间断点：至少一侧极限不存在
- 无穷间断点与振荡间断点
闭区间连续函数的性质
- 最大值最小值定理：闭区间上连续函数必取得最大最小值
- 介值定理：能取到最大值与最小值之间的一切值
- 零点定理：f(a)·f(b) < 0 则区间内至少存在一个零点
- 零点定理是证明方程有根的标准工具
解题顺序
- 先判断极限类型，再选择方法
- 能等价替换先替换，比洛必达更快且不易出错
- 加减项中出现无穷小相减，优先考虑泰勒展开
- 分段函数在分界点求极限必须分左右讨论
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