二阶常系数线性微分方程：齐次通解加特解思维导图
在线编辑导图
直接在下方导图上编辑：双击节点改文字，Tab 加子节点，Enter 加同级，Delete 删除； 需要批量改文本时点工具栏「显示源码」展开 Markdown 文本栏。草稿自动保存在本机浏览器， 支持导出 Markdown / SVG / PNG。点上方版式按钮可切换为 10 种可视化版式预览。
导图加载中…
思维导图大纲
二阶常系数线性微分方程：齐次通解加特解
一、齐次方程通解
特征方程
- y''+py'+qy=0 ⇒ r²+pr+q=0
- 两根 r₁≠r₂：y=C₁e^(r₁x)+C₂e^(r₂x)
- 重根 r₁=r₂=r：y=(C₁+C₂x)e^(rx)
- 共轭复根 α±βi：y=e^(αx)(C₁cosβx+C₂sinβx)
判别记忆
- 看判别式 Δ=p²-4q 的符号直接对应三种情形
二、非齐次特解
自由项为 P_m(x)e^(λx)
- 设 y*=x^k Q_m(x)e^(λx)，Q_m 为同次多项式
- k 取 λ 作为特征根的重数（0、1、2）
自由项为三角型
- f=e^(λx)[P_l cosωx + P_n sinωx]
- 设 y*=x^k e^(λx)[R_m cosωx + R_m sinωx]，m=max(l,n)
- k 看 λ±iω 是否为特征根
叠加原理
- f=f₁+f₂ 时分别求特解再相加
三、通解结构
齐次通解 + 特解
- 非齐次通解 = 对应齐次通解 + 一个非齐次特解
- 初值条件用于确定 C₁、C₂
四、欧拉方程与其他
欧拉方程
- x²y'' + pxy' + qy = 0
- 令 x=e^t（x>0）化为常系数方程
可降阶类型
- y''=f(x)：连续积分两次
- y''=f(x,y')：令 p=y' 降为一阶
- y''=f(y,y')：令 p=y' 且 y''=p dp/dy
物理应用
- 简谐振动 y''+ω²y=0 ⇒ y=Acos(ωt+φ)
- 阻尼振动、受迫振动与共振
5996
评论 0 条
还没有评论，来抢沙发吧