一阶微分方程五类型解法思维导图
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思维导图大纲
一阶微分方程五类型解法
一、可分离变量
形式与解法
- dy/dx = f(x)g(y) ⇒ ∫dy/g(y) = ∫f(x)dx
- 注意 g(y)=0 的常数解可能被除法丢掉
应用
- 指数增长/衰减模型：dN/dt = kN
- 牛顿冷却：dT/dt = -k(T-T₀)
二、齐次方程
识别
- 形如 dy/dx = φ(y/x)，右端只与 y/x 有关
解法
- 令 u=y/x ⇒ y=ux ⇒ y'=u+xu'
- 代入化为可分离方程，解完回代 u=y/x
三、一阶线性
标准形与公式
- y' + P(x)y = Q(x)
- 通解 y = e^(-∫P dx)[∫Q e^(∫P dx) dx + C]
- 常数变易法推导：先解齐次再用 C(x) 替换
齐次情形
- Q=0 时 y=Ce^(-∫P dx)，即分离变量
四、伯努利与全微分
伯努利方程
- y' + P(x)y = Q(x)y^n（n≠0,1）
- 令 z=y^(1-n) 化为线性方程
全微分方程
- M dx + N dy = 0 且 ∂M/∂y = ∂N/∂x 时为全微分
- 求解：找 u(x,y) 使 du=Mdx+Ndy，u=C 即隐式解
- 非全微分时求积分因子 μ
五、初值与应用
定常数
- 通解中代入 y(x₀)=y₀ 求 C
- 奇解与通解的关系
建模
- 溶液混合、放射性衰变、Logistic 增长、电路 RL/RC
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