极限计算：四则·等价无穷小·洛必达·夹逼思维导图
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思维导图大纲
极限计算：四则·等价无穷小·洛必达·夹逼
一、两个重要极限
基础形式
- lim(x→0) sinx/x = 1，可推广为 lim sinφ(x)/φ(x)=1（要求 φ→0）
- lim(x→∞)(1+1/x)^x = e，变形 lim(x→0)(1+x)^(1/x) = e
适用识别
- 含三角函数且出现 0/0 → 优先想第一个
- 出现 1^∞ 型幂指结构 → 优先凑第二个
二、七种未定式转化
基本型 0/0 与 ∞/∞
- 洛必达法则三条件：0/0 或 ∞/∞、去心邻域可导、导数之比极限存在
- 连续使用前必须验证仍是未定式，非未定式再用必错
其他五型化归
- 0·∞：把其中一个写成倒数移到分母，化为 0/0 或 ∞/∞
- ∞-∞：通分、有理化或提公因子
- 1^∞、0^0、∞^0：取对数化为 0·∞，或用 lim e^(ln f)
- 1^∞ 速解：lim u^v = e^(lim v(u-1))（u→1、v→∞）
三、等价无穷小替换
8 组常用等价（x→0）
- sinx ~ x、tanx ~ x、arcsinx ~ x、arctanx ~ x
- 1-cosx ~ x²/2、ln(1+x) ~ x、e^x-1 ~ x
- (1+x)^a - 1 ~ ax
替换边界
- 乘除因子可整体替换，不影响极限
- 加减中替换需保证不抵消，否则用泰勒展开到足够阶
- 反例：lim(sinx-x)/x³ 若把 sinx 换成 x 得 0，正确结果为 -1/6
四、夹逼与单调有界
夹逼准则
- n 项和型：放大缩小后两端极限相同，如 lim(1/n²+2/n²+…+n/n²)
- 含 n 次根号：用最大项与 n 倍最大项夹
单调有界准则
- 递推数列 aₙ₊₁=f(aₙ)：先证有界（数学归纳），再证单调，极限设为 A 解方程
- 常见于 aₙ₊₁=√(2+aₙ) 一类
五、常见错误
失效与误用
- 洛必达用于非未定式（如 lim sinx/x 直接求导得 cosx/1 会得错）
- 加减中直接等价替换导致答案错
- 分段函数在分界点求极限未分左右
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