无穷小阶的比较与等价替换的边界思维导图
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思维导图大纲
无穷小阶的比较与等价替换的边界
一、阶的定义
四种关系
- 若 lim β/α = 0，β 是 α 的高阶无穷小，记 β=o(α)
- 若 lim β/α = ∞，β 是低阶无穷小
- 若 lim β/α = c ≠ 0，同阶；c=1 时等价，记 α ~ β
- 若 lim β/α^k = c ≠ 0，β 是 α 的 k 阶无穷小
常用阶的估计
- x→0 时：x > x² > x³；sinx ~ x 为一阶
- 1-cosx 为二阶、x-sinx 为三阶、tanx-x 为三阶
- x→+∞ 时：lnx ≪ x^a ≪ a^x ≪ x!（增长速度排序）
二、等价替换规则
允许场景
- 乘除结构中的因子可整体替换
- 复合结构 f(φ(x)) 中若 φ→0，可用 φ 代换
禁止场景
- 加减运算中替换需谨慎，同阶可能抵消
- 被替换的量在加减中出现两次以上时必须展开
- 幂指结构不能只替换底数或指数
安全做法
- 先判断是否为未定式，再决定用等价还是泰勒
- 抵消风险大时用泰勒展开到最低不抵消阶
三、1^∞ 型三部曲
标准解法
- 第一步凑 e：把 u^v 写成 e^(v·lnu)
- 第二步取对数：lim v·lnu = lim v·(u-1)（u→1 时 lnu ~ u-1）
- 第三步写回：原式 = e^(lim v(u-1))
典型算例
- lim(x→0)(1+2x)^(1/x) = e²
- lim(x→∞)(1-1/x)^x = e⁻¹
四、无穷大与无穷小
互为倒数
- 同一极限过程中，f 为无穷小 ⇔ 1/f 为无穷大（f≠0）
- 无界变量不一定是无穷大（如 x·sin(1/x) 在 0 附近）
阶的运算
- o(α)+o(α)=o(α)；o(α)·o(β)=o(αβ)
- 等价替换的传递性可用于连续化简
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