连续性与间断点四分类判定思维导图
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思维导图大纲
连续性与间断点四分类判定
一、连续的定义与判定
三要素
- f(x₀) 有定义
- lim(x→x₀) f(x) 存在（左右极限相等）
- 极限值等于函数值：lim f(x) = f(x₀)
左连续与右连续
- f(x₀⁻)=f(x₀) 为左连续，f(x₀⁺)=f(x₀) 为右连续
- 区间上连续 = 每点连续；闭区间端点按单侧连续定义
分段函数分界点
- 必须分别求左右极限，二者相等且等于函数值才连续
- 常考含参分段函数求参数，令左右极限相等解方程
二、间断点四分类
第一类（左右极限都存在）
- 可去间断点：左右极限相等 ≠ 函数值（或函数无定义），如 sinx/x 在 x=0
- 跳跃间断点：左右极限存在但不相等，如 sgn(x) 在 x=0
第二类（至少一侧不存在）
- 无穷间断点：极限为 ∞，如 1/x 在 x=0、tanx 在 π/2
- 振荡间断点：函数值反复振荡无极限，如 sin(1/x) 在 x=0
判定步骤
- 先找无定义点与分段分界点 → 求左右极限 → 按存在性分类 → 比较是否等于函数值
三、闭区间连续函数三大定理
最值定理
- 闭区间连续 ⇒ 必有最大值与最小值（开区间不保证）
介值定理
- 介于最小值与最大值之间的任一值都能取到
- 推论：最大值与最小值异号 ⇒ 区间内必有零点（零点存在定理）
应用
- 证明方程根的存在性：构造 f 并验证端点异号
- 证明根的唯一性：再证单调
四、连续与可导、渐近线
两者关系
- 可导必连续，连续不一定可导（|x| 在 x=0 连续但不可导）
- 不连续一定不可导；连续但左右导数不等的点不可导
渐近线三类
- 水平：lim(x→∞) f(x) = b ⇒ y=b
- 铅直：lim(x→a) f(x) = ∞ ⇒ x=a（找分母零点与对数/根号边界）
- 斜：k=lim f(x)/x、b=lim(f(x)-kx)，k≠0 且存在 ⇒ y=kx+b
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