求导法则全表：四则·复合·隐函数·参数方程思维导图
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思维导图大纲
求导法则全表：四则·复合·隐函数·参数方程
一、基本导数表
幂指对三角
- (x^a)'=ax^(a-1)；(a^x)'=a^x lna；(e^x)'=e^x
- (lnx)'=1/x；(ln|x|)'=1/x；(log_a x)'=1/(x lna)
- (sinx)'=cosx；(cosx)'=-sinx；(tanx)'=sec²x；(cotx)'=-csc²x
- (secx)'=secx tanx；(cscx)'=-cscx cotx
反三角
- (arcsinx)'=1/√(1-x²)；(arccosx)'=-1/√(1-x²)
- (arctanx)'=1/(1+x²)；(arccotx)'=-1/(1+x²)
二、四则与复合
四则法则
- (u±v)'=u'±v'；(uv)'=u'v+uv'
- (u/v)'=(u'v-uv')/v²
链式法则
- 由外向内逐层求导再相乘：dy/dx = dy/du · du/dx
- 多层复合如 y=sin(ln(1+x²)) 需三层
三、隐函数与对数求导
隐函数
- 两边对 x 求导，把 y 看作 x 的函数，含 y' 项用链式
- 解出 y' 的表达式（结果常含 y，可代入原方程化简）
- 公式法：F(x,y)=0 时 y'=-F_x/F_y
对数求导法
- 适用幂指函数 u^v 与多因子乘除
- 两边取对数 → 化为加减 → 隐函数求导 → 回代
- 例：y=x^sinx ⇒ lny=sinx·lnx
四、参数方程与高阶导
参数方程
- dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)（要求 dx/dt ≠ 0）
- 二阶导：d²y/dx² = d/dx(dy/dx) = [d/dt(dy/dx)] / (dx/dt)
- 常见错误：只对一阶导再除一次 t 而漏除 dx/dt
极坐标
- x=r(θ)cosθ、y=r(θ)sinθ，化为参数方程处理
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