n 阶导数公式与微分形式不变性思维导图
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思维导图大纲
n 阶导数公式与微分形式不变性
一、常用 n 阶导数
指数与三角
- (e^(ax))⁽ⁿ⁾ = aⁿ e^(ax)
- (sin ax)⁽ⁿ⁾ = aⁿ sin(ax + nπ/2)
- (cos ax)⁽ⁿ⁾ = aⁿ cos(ax + nπ/2)
有理与对数
- (1/(1+x))⁽ⁿ⁾ = (-1)ⁿ n!/(1+x)^(n+1)
- (ln(1+x))⁽ⁿ⁾ = (-1)^(n-1) (n-1)!/(1+x)ⁿ
- (x^a)⁽ⁿ⁾ = a(a-1)…(a-n+1)x^(a-n)
二、莱布尼茨公式
公式本体
- (uv)⁽ⁿ⁾ = Σ(k=0..n) C(n,k) u⁽ᵏ⁾ v⁽ⁿ⁻ᵏ⁾
- 适用：一个因子是低次多项式（几次就只算几项）
典型算例
- (x² e^x)⁽ⁿ⁾ 只取 k=0,1,2 三项
- (x lnx)⁽ⁿ⁾ 同理
三、微分与可微性
定义
- Δy = AΔx + o(Δx)，A=f'(x)，则 dy = f'(x)dx
- 一元函数：可微 ⇔ 可导（多元不成立）
几何与近似
- dy 是切线上的增量，Δy-dy 为高阶无穷小
- 近似计算：f(x₀+Δx) ≈ f(x₀) + f'(x₀)Δx
- 误差估计：|Δy| ≈ |f'(x₀)|·|Δx|
四、一阶微分形式不变性
含义
- 无论 u 是自变量还是中间变量，dy = f'(u)du 形式不变
- 这是凑微分与积分换元的理论基础
应用
- 复合函数微分可直接写 dy=f'(u)du 而无需展开 du
- 凑微分：∫f(φ(x))φ'(x)dx = ∫f(u)du
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