不定积分：凑微分·换元·分部·有理函数思维导图
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思维导图大纲
不定积分：凑微分·换元·分部·有理函数
一、基本积分表
幂指对三角
- ∫x^a dx = x^(a+1)/(a+1)+C（a≠-1）；∫dx/x = ln|x|+C
- ∫e^x dx=e^x+C；∫a^x dx=a^x/lna+C
- ∫sinx dx=-cosx+C；∫cosx dx=sinx+C
- ∫sec²x dx=tanx+C；∫csc²x dx=-cotx+C
含分式与根式
- ∫dx/(1+x²)=arctanx+C；∫dx/√(1-x²)=arcsinx+C
- ∫dx/(a²+x²)=(1/a)arctan(x/a)+C
- ∫dx/√(x²±a²)=ln|x+√(x²±a²)|+C
二、第一类换元（凑微分）
基本思路
- 看到 f(φ(x))φ'(x) 就把 φ'(x)dx 凑成 dφ(x)
- 常用凑法：dx=d(x+b)、(1/x)dx=d(lnx)、2xdx=d(x²)、cosxdx=d(sinx)
典型
- ∫f(ax+b)dx = (1/a)∫f(u)du
- ∫x e^(x²)dx = ½e^(x²)+C
三、第二类换元
三角代换
- √(a²-x²) 用 x=a sin t
- √(a²+x²) 用 x=a tan t
- √(x²-a²) 用 x=a sec t
- 回代必须画直角三角形把 t 换回 x
根式与倒代换
- 含 ⁿ√(ax+b) 令 t=ⁿ√(ax+b)
- 分母次数高于分子时用 x=1/t 倒代换
四、分部积分
公式与选 u
- ∫u dv = uv - ∫v du
- 口诀「反对幂指三」：排在前面的设为 u（反三角、对数、幂、指数、三角）
循环与递推
- ∫e^x sinx dx 类需两次分部后移项求解
- ∫sinⁿx dx 用递推公式降次
五、有理函数积分
四型拆分
- 真分式按分母因式分解为部分分式之和
- 单实根、重实根、单复根、重复根四种情形
- 假分式先做多项式除法化为真分式
三角有理式
- 万能代换 t=tan(x/2)：sinx=2t/(1+t²)、cosx=(1-t²)/(1+t²)、dx=2dt/(1+t²)
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