定积分：性质·牛顿-莱布尼茨·反常积分思维导图
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思维导图大纲
定积分：性质·牛顿-莱布尼茨·反常积分
一、定义与七条性质
定义
- 分割、近似、求和、取极限（黎曼和）
- 几何意义：曲边梯形面积的代数和
七条性质
- 线性、区间可加（∫ₐᵇ=∫ₐᶜ+∫꜀ᵇ）
- 保号性：f≥0 ⇒ 积分≥0；估值：m(b-a)≤∫≤M(b-a)
- 绝对值不等式：|∫f|≤∫|f|
- 积分中值定理：∫ₐᵇf = f(ξ)(b-a)
- 奇偶性：对称区间上奇函数积分为 0
二、变上限积分
基本求导
- Φ(x)=∫ₐˣ f(t)dt ⇒ Φ'(x)=f(x)
- 复合形式：d/dx ∫ₐ^φ(x) f(t)dt = f(φ(x))φ'(x)
上下限都变
- d/dx ∫_ψ(x)^φ(x) f = f(φ)φ' - f(ψ)ψ'
- 被积函数含 x 时须先把 x 移出积分号（换元或拆分）
三、牛顿-莱布尼茨公式
使用前提
- f 在 [a,b] 上连续，F 是 f 的一个原函数
- ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a)
- 被积函数在区间内有瑕点时必须拆区间按反常积分处理
化简技巧
- 对称区间先判奇偶，可省一半计算
- 周期函数在整周期区间上积分与起点无关
- 点火公式：∫₀^(π/2) sinⁿx dx，n 为偶数乘 π/2、奇数不乘
四、反常积分
两类
- 无穷限：∫ₐ^∞ f = lim(b→∞)∫ₐᵇ f
- 瑕积分：f 在 a 附近无界，∫ₐᵇ = lim(ε→0⁺)∫(a+ε)^b
判敛工具
- p 积分：∫₁^∞ 1/x^p 收敛 ⇔ p>1；∫₀¹ 1/x^p 收敛 ⇔ p<1
- 极限比较法：与 1/x^p 比阶，看阶数
- 绝对收敛 ⇒ 收敛；条件收敛需单独判
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