定积分应用：面积·体积·弧长·物理量思维导图
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思维导图大纲
定积分应用：面积·体积·弧长·物理量
一、微元法三步
标准流程
- 画图确定积分变量与区间
- 取微元写出 dA（dV、ds、dW）
- 定积分求整体，检查量纲与符号
二、平面面积
直角坐标
- 上下曲线：A=∫ₐᵇ (y_上 - y_下)dx
- 左右曲线：A=∫꜀ᵈ (x_右 - x_左)dy
- 需先求交点确定积分限，多段时分段积分
极坐标
- A = ½∫_α^β r²(θ)dθ
- 常见图形：心形线、三叶玫瑰线、双纽线
三、体积与弧长
旋转体体积
- 圆盘法（绕 x 轴）：V = π∫ₐᵇ y²dx
- 柱壳法（绕 y 轴）：V = 2π∫ₐᵇ x·y dx
- 垫圈法：两曲线之间旋转 V=π∫(y₁²-y₂²)dx
弧长三公式
- 直角坐标：s=∫√(1+y'²)dx
- 参数方程：s=∫√(x'²+y'²)dt
- 极坐标：s=∫√(r²+r'²)dθ
旋转曲面面积
- S = 2π∫ y√(1+y'²)dx（绕 x 轴）
四、物理应用
功与压力
- 变力做功：W=∫ₐᵇ F(x)dx（如弹簧、抽水、气体压缩）
- 水压力：P=ρg∫ y·h(y)dy（y 为深度）
其他
- 质心与形心坐标公式
- 引力、转动惯量
- 函数平均值：f̄ = (1/(b-a))∫ₐᵇ f dx
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