级数敛散判定与幂级数展开思维导图
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思维导图大纲
级数敛散判定与幂级数展开
一、正项级数四判据
比较判别法
- 与已知级数比大小（极限形式：lim aₙ/bₙ = c）
- c>0 时同敛散；c=0 时 b 收敛则 a 收敛
比值与根值
- 比值：ρ=lim aₙ₊₁/aₙ，ρ<1 收敛、ρ>1 发散、ρ=1 失效
- 根值：ρ=lim ⁿ√aₙ，判据同比值
积分判别法
- f 单调递减非负时，Σf(n) 与 ∫₁^∞ f(x)dx 同敛散
二、基准级数
必记结论
- p 级数 Σ1/n^p：p>1 收敛，p≤1 发散（p=1 为调和级数，发散）
- 几何级数 Σqⁿ：|q|<1 收敛于 a₁/(1-q)，否则发散
三、交错与任意项级数
莱布尼茨判别
- 两条件：uₙ 单调递减、lim uₙ = 0
- 满足即收敛，且余项 |rₙ| ≤ uₙ₊₁
绝对与条件收敛
- Σ|aₙ| 收敛 ⇒ Σaₙ 收敛（绝对收敛）
- Σaₙ 收敛但 Σ|aₙ| 发散 ⇒ 条件收敛
- 绝对收敛的级数可任意重排；条件收敛重排会改变和（黎曼重排定理）
四、幂级数
收敛半径与域
- R = 1/ρ，ρ = lim|aₙ₊₁/aₙ|（或 lim ⁿ√|aₙ|）
- 开区间 (x₀-R, x₀+R) 内绝对收敛，外侧发散
- 端点 x=x₀±R 必须单独代入判敛
和函数
- 在收敛区间内可逐项求导与逐项积分（不改变收敛半径）
- 常用套路：先求导化成几何级数，再积分回去
五个基本展开式
- e^x = Σxⁿ/n!（R=∞）
- sinx = Σ(-1)ⁿx^(2n+1)/(2n+1)!；cosx = Σ(-1)ⁿx^(2n)/(2n)!
- ln(1+x) = Σ(-1)^(n-1)xⁿ/n（-1<x≤1）
- 1/(1-x) = Σxⁿ（|x|<1）
间接展开
- 通过代换、求导、积分从五个基本式变形得到新展开
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