线性代数知识体系总纲（矩阵·向量·方程组·特征值）思维导图

一、行列式

• n 阶行列式 = 不同行不同列元素乘积的代数和（逆序数定符号）
• 五大性质：转置不变、换行变号、倍乘提系数、行相加不变、两行成比例为零
• 上（下）三角行列式 = 主对角线乘积

二、矩阵

• 加法、数乘、乘法（不满足交换律，AB≠BA）、转置、方幂
• (AB)ᵀ = BᵀAᵀ；(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹；(AB)* = B*A*
• 可逆四等价：|A|≠0、r(A)=n、Ax=0 只有零解、行（列）向量线性无关

三、向量组

• 线性相关 ⇔ 存在不全为 0 的系数使组合为 0 ⇔ 秩 < 向量个数
• 四个等价判据与常见结论：含零向量必相关、部分相关则整体相关、n+1 个 n 维向量必相关
• 极大无关组：自身无关、再加任一向量都相关；个数 = 秩

四、线性方程组

• n 元方程组：r(A)=r(A|b)=n 唯一解；r(A)=r(A|b)<n 无穷多解；r(A)<r(A|b) 无解

五、特征值与特征向量

六、二次型

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