线性相关性判定与极大无关组思维导图
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思维导图大纲
线性相关性判定与极大无关组
一、线性组合与表示
定义
- β 可由 α₁…αₙ 线性表示 ⇔ 方程组 x₁α₁+…+xₙαₙ=β 有解
- 等价于 r(α₁…αₙ) = r(α₁…αₙ, β)
等价向量组
- 两组可互相线性表示则等价，等价的向量组秩相等
二、线性相关性的四个判据
定义法
- 存在不全为 0 的 kᵢ 使 Σkᵢαᵢ = 0 ⇒ 线性相关
- 只有零解 ⇒ 线性无关
秩判据
- r(α₁…αₛ) < s ⇒ 相关；= s ⇒ 无关
- n 个 n 维向量：行列式为 0 ⇒ 相关
方程组判据
- 齐次方程组 Ax=0 有非零解 ⇔ 列向量组相关
单个与两个向量
- 单个零向量必相关；单个非零向量必无关
- 两个向量相关 ⇔ 成比例
三、六个常用结论
基本结论
- 含零向量的向量组必线性相关
- 部分相关 ⇒ 整体相关；整体无关 ⇒ 部分无关
- n+1 个 n 维向量必线性相关
- 无关组接长分量仍无关；相关组截短分量仍相关
- 低维无关 ⇒ 高维无关（接长）；高维相关 ⇏ 低维相关
- 不同特征值的特征向量线性无关
四、极大无关组
定义
- 向量组的一个部分组：自身线性无关，且加任一原向量后相关
- 极大无关组所含向量个数 = 向量组的秩
求法
- 把向量按列拼成矩阵，做初等行变换化为行最简形
- 主元所在列对应的原向量构成极大无关组
- 其余向量用主元列表示，系数直接读出行最简形对应列
用途
- 化简向量组、求秩、判断可表示性
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