行列式：性质·展开·特殊行列式速算思维导图
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思维导图大纲
行列式：性质·展开·特殊行列式速算
一、定义与七条性质
定义
- n 阶行列式 = Σ(-1)^τ a₁ⱼ₁a₂ⱼ₂…aₙⱼₙ，τ 为列下标排列的逆序数
- 二阶：ad-bc；三阶用对角线法则（仅限二三阶）
七条性质
- 转置行列式不变：|Aᵀ|=|A|
- 互换两行（列）变号
- 某行乘 k，行列式乘 k；某行有公因子可提出
- 两行成比例或相同 ⇒ 行列式为 0
- 某行加上另一行的 k 倍，行列式不变（最常用）
- 可加性：某行拆成两组数相加，行列式拆成两个之和
二、展开与降阶
代数余子式
- 余子式 Mᵢⱼ：划去第 i 行第 j 列所得行列式
- 代数余子式 Aᵢⱼ = (-1)^(i+j) Mᵢⱼ
- 按行展开：|A| = Σ aᵢⱼAᵢⱼ（选零多的行或列）
重要结论
- 异行展开为 0：Σ aᵢⱼAₖⱼ = 0（i≠k）
- |A*| = |A|^(n-1)；AA* = |A|E
三、特殊行列式速算
范德蒙德
- V = Π(xⱼ - xᵢ)（所有 j>i 的差之积）
- 互异则非零，有相等则为零
箭形（爪形）
- 用主对角元素把第一行（列）消为零
- 结果 = 主对角线各元素减去对应比值项之积
两线型与分块
- 主对角两线型：化成三角或递推
- 分块三角：|A B; 0 C| = |A||C|
- 分块副对角：符号为 (-1)^(mn)|B||C|
各行（列）和相等
- 把所有列加到第一列，提出公因子后再消元
- 适用于 a、b 循环的 n 阶行列式
四、常见计算结果
乘法与幂
- |AB| = |A||B|；|kA| = kⁿ|A|
- |A⁻¹| = 1/|A|；|A²| = |A|²
与秩和可逆
- |A| ≠ 0 ⇔ A 可逆 ⇔ r(A)=n ⇔ 行（列）向量线性无关
- |A| = 0 ⇔ 齐次方程组有非零解
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