特征值与特征向量：计算与性质思维导图
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思维导图大纲
特征值与特征向量：计算与性质
一、定义与求法
定义
- Ax = λx（x≠0），λ 为特征值、x 为对应特征向量
- 特征向量必须非零；一个特征值可对应多个特征向量
计算三步
- 写特征方程 |A - λE| = 0，解出 n 个特征值
- 对每个 λᵢ 解齐次方程组 (A-λᵢE)x=0
- 求基础解系即为该特征值的特征向量
二、性质
和与积
- Σλᵢ = tr(A)（主对角线之和）
- Πλᵢ = |A|
- |A|≠0 ⇔ 所有特征值非零
特征向量的性质
- 不同特征值的特征向量线性无关
- k 重特征值最多有 k 个线性无关的特征向量（几何重数 ≤ 代数重数）
- 一个特征向量只属于一个特征值
函数关系
- f(A) 的特征值为 f(λ)，特征向量不变
- A⁻¹ 特征值 1/λ；A* 特征值 |A|/λ；Aᵀ 与 A 特征值相同但特征向量不同
三、实对称矩阵
三条特殊性质
- 特征值全为实数
- 不同特征值的特征向量必正交
- 一定可以正交对角化：存在正交矩阵 Q 使 QᵀAQ = Λ
正交化流程
- 分别求各特征值的特征向量
- 同一特征值内若有多个向量，用施密特正交化
- 全部单位化后按列拼成 Q
四、常见考法
反求矩阵
- 已知特征值与特征向量，用 A = PΛP⁻¹ 还原
参数确定
- 用 Σλ=tr(A)、Πλ=|A| 列方程求参数
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