相似对角化的条件与三步法思维导图
在线编辑导图
直接在下方导图上编辑：双击节点改文字，Tab 加子节点，Enter 加同级，Delete 删除； 需要批量改文本时点工具栏「显示源码」展开 Markdown 文本栏。草稿自动保存在本机浏览器， 支持导出 Markdown / SVG / PNG。点上方版式按钮可切换为 10 种可视化版式预览。
导图加载中…
思维导图大纲
相似对角化的条件与三步法
一、相似的定义与性质
定义
- 存在可逆 P 使 P⁻¹AP = B，则 A 与 B 相似，记 A~B
- 相似是等价关系的特例（相似必等价，反之不成立）
五个不变量
- 特征多项式相同 ⇒ 特征值相同
- 行列式相同、迹相同
- 秩相同
- r(A-λE) 相同
- 若 A 可逆，A⁻¹ 与 B⁻¹ 也相似
注意
- 相似不保证特征向量相同
- A 与 Aᵀ 不必然相似（但特征值相同）
二、可对角化的条件
充要条件
- A 有 n 个线性无关的特征向量
- 等价于每个特征值的几何重数 = 代数重数
充分条件
- n 个特征值互不相同 ⇒ 必可对角化
- 实对称矩阵必可对角化（正交对角化）
不可对角化
- 存在重特征值且几何重数小于代数重数
- 典型反例：[[1,1],[0,1]]
三、对角化三步法
步骤
- 求全部特征值
- 求每个特征值对应的特征向量（基础解系）
- 按列拼成 P，则 P⁻¹AP = diag(λ₁,…,λₙ)
顺序对应
- P 的列顺序必须与对角阵中 λ 的顺序一一对应
实对称的特殊流程
- 求特征值 → 求特征向量 → 施密特正交化（同特征值内）→ 单位化 → 拼成正交矩阵 Q
- QᵀAQ = Λ（Qᵀ=Q⁻¹）
四、应用
求高次幂
- A = PΛP⁻¹ ⇒ Aᵏ = PΛᵏP⁻¹（对角阵的幂最易算）
判断相似
- 两矩阵相似 ⇔ 有相同的 Jordan 标准形；仅特征值相同不足
5996
评论 0 条
还没有评论，来抢沙发吧