二次型标准化与正定判定思维导图
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思维导图大纲
二次型标准化与正定判定
一、二次型的矩阵表示
定义
- n 元二次型 f(x₁…xₙ) = xᵀAx，A 为实对称矩阵（二次型矩阵）
- 二次型的秩 = r(A)；矩阵 A 必须对称，交叉项系数要除以 2
合同
- A 与 B 合同：存在可逆 C 使 CᵀAC = B
- 合同 ⇔ 正负惯性指数相同（惯性定理）
- 合同与相似不同：相似看特征值，合同看惯性指数
二、化标准形两法
正交变换法
- 求 A 的特征值与正交特征向量，拼成 Q
- 令 x=Qy，则 f = λ₁y₁²+λ₂y₂²+…+λₙyₙ²
- 系数就是特征值，唯一（不计顺序）
配方法
- 逐个变量配方消去交叉项
- 所得系数不唯一，但正负个数唯一
- 适用于只需标准形、不要求正交的场合
规范形
- 标准形再令 yᵢ=zᵢ/√|λᵢ|，化为 Σz₁²+…-… 形式
- 规范形由正惯性指数 p 与负惯性指数 q 唯一确定，p+q=r
三、正定判定
五个等价条件
- 顺序主子式全大于 0（最常用）
- 全部特征值大于 0
- 正惯性指数 p = n
- A 与 E 合同（存在可逆 C 使 A=CᵀC）
- A = DᵀD 且 D 可逆
半正定
- 特征值 ≥0、顺序主子式 ≥0 且 |A|=0
必要条件
- 正定 ⇒ 主对角元全 >0、|A|>0；反之不成立
四、常见题型
含参判定
- 用顺序主子式列不等式组解参数范围
化标准形求参数
- 已知标准形系数（特征值）反求原矩阵参数
惯性指数
- 由 p、q 判断合同关系与曲面类型
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