矩阵的秩：定义·求法·常用不等式思维导图
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思维导图大纲
矩阵的秩：定义·求法·常用不等式
一、定义与等价刻画
三种定义
- 最高阶非零子式的阶数
- 行向量组的极大无关组所含向量个数（行秩）
- 列向量组的极大无关组所含向量个数（列秩）；三者相等
基本性质
- 0 ≤ r(A) ≤ min(m,n)
- r(A) = r(Aᵀ) = r(AᵀA) = r(AAᵀ)
- 初等变换不改变秩
二、求法
行阶梯法
- 初等行变换化为行阶梯形，非零行数即秩
- 继续化为行最简形可同时读出主元列与解
子式法
- 找出一个 r 阶非零子式，并验证所有 r+1 阶子式为零
分块矩阵
- r([A 0; 0 B]) = r(A)+r(B)
- r([A C; 0 B]) ≥ r(A)+r(B)（当 C=0 时取等）
三、秩不等式
和与积
- r(A+B) ≤ r(A) + r(B)
- r(AB) ≤ min(r(A), r(B))
- 西尔维斯特不等式：r(AB) ≥ r(A) + r(B) - n（A 为 m×n、B 为 n×s）
幂与伴随
- r(Aᵏ) = r(A)（有的教材表述为 r(Aᵏ) ≤ r(A) 且稳定）
- r(A*) = n（r=n）、1（r=n-1）、0（r<n-1）
应用
- 判断方程组解的情况：比较 r(A) 与 r(A|b)
- 判断向量组相关性：r < 向量个数 ⇒ 线性相关
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