解空间与基础解系的构造思维导图
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思维导图大纲
解空间与基础解系的构造
一、解空间
定义
- 齐次方程组 Ax=0 的全部解构成 Rⁿ 的子空间，称零空间 N(A)
- dim N(A) = n - r(A)（维数定理）
几何意义
- 一个方程（n=3）：解为过原点平面，维数 2
- 两个独立方程：解为过原点直线，维数 1
- r=n：只有零解，维数 0
二、基础解系
三要素
- 是解（满足 Ax=0）
- 线性无关
- 任一解都可由其线性表示（个数恰为 n-r）
构造方法
- 行最简形确定主元列与自由列
- 对自由变量依次取 (1,0,…,0)、(0,1,…,0)…
- 回代求出对应的主元变量，得到 n-r 个解向量
三、四类子空间关系
行空间与列空间
- 行空间 = 行向量张成的空间，维数 = r(A)
- 列空间 = 列向量张成的空间，维数 = r(A)（列秩=行秩）
- Ax=b 有解 ⇔ b 属于列空间
正交关系
- 零空间与行空间互为正交补（N(A) ⊥ Row(A)）
- 左零空间与列空间互为正交补
维数关系
- dim Row(A) + dim N(A) = n
- 秩-零化度定理
四、非齐次解集
不是子空间
- Ax=b（b≠0）的解集不过原点，不构成子空间
- 是零空间的一个平移（仿射子空间）
结构
- 解集 = η* + N(A)
- 解的个数等于零空间的向量个数（无穷多时）
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