矩阵运算与求逆四法思维导图
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思维导图大纲
矩阵运算与求逆四法
一、基本运算
加减与数乘
- 同型矩阵才能加减，逐元素运算
- 数乘 kA：每个元素乘 k
乘法
- A(m×s)·B(s×n) = C(m×n)，左列数须等于右行数
- 不满足交换律（AB≠BA）、不满足消去律（AB=AC 推不出 B=C）
- 转置性质：(AB)ᵀ = BᵀAᵀ
方幂与多项式
- Aᵏ 要求 A 为方阵；A⁰=E
- (A+B)² = A²+AB+BA+B²（不可写成 A²+2AB+B²）
- 矩阵多项式 f(A) 可因式分解
二、特殊矩阵
对角与三角
- 对角矩阵相乘即对角元相乘；对角阵的幂即各元素取幂
- 上（下）三角阵的乘积仍是三角阵，行列式为主对角之积
对称与正交
- 对称：Aᵀ=A；反对称：Aᵀ=-A，对角元为 0
- 正交矩阵：AᵀA=E ⇒ A⁻¹=Aᵀ，|A|=±1
幂等与对合
- 幂等 A²=A；对合 A²=E
- 秩与特征值受此约束（幂等的特征值只取 0、1）
三、逆矩阵
可逆等价条件
- |A|≠0；r(A)=n；Ax=0 只有零解；行（列）向量线性无关；特征值全不为 0
求逆四法
- 伴随矩阵法：A⁻¹ = A*/|A|（适用于二阶、三阶）
- 初等行变换：[A|E] → [E|A⁻¹]（通用，最常用）
- 分块求逆：对角块分别求逆，副对角块需交换
- 定义法：找 B 使 AB=E
运算性质
- (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹；(Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ；(kA)⁻¹ = (1/k)A⁻¹
- (A⁻¹)⁻¹ = A；|A⁻¹| = 1/|A|
四、初等变换与等价
三种初等变换
- 交换两行；某行乘非零常数；某行加另一行的 k 倍
- 初等矩阵：对 E 做一次初等变换所得，左乘实现行变换、右乘实现列变换
等价与标准形
- A 经有限次初等变换化为 B 则 A≅B
- 任意矩阵等价于标准形 [Er 0; 0 0]，r 即秩
- 可逆矩阵可表示为初等矩阵之积
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