线性方程组解的存在性与通解结构思维导图
在线编辑导图
直接在下方导图上编辑：双击节点改文字，Tab 加子节点，Enter 加同级，Delete 删除； 需要批量改文本时点工具栏「显示源码」展开 Markdown 文本栏。草稿自动保存在本机浏览器， 支持导出 Markdown / SVG / PNG。点上方版式按钮可切换为 10 种可视化版式预览。
导图加载中…
思维导图大纲
线性方程组解的存在性与通解结构
一、解的判定
非齐次 Ax=b
- r(A) < r(A|b) ⇒ 无解（增广矩阵秩更大）
- r(A) = r(A|b) = n ⇒ 唯一解
- r(A) = r(A|b) = r < n ⇒ 无穷多解，含 n-r 个自由未知量
齐次 Ax=0
- 必有零解；r(A)=n 时只有零解
- r(A)<n 时有非零解，基础解系含 n-r 个向量
方阵特例
- n 个方程 n 个未知数：|A|≠0 ⇒ 唯一解（克拉默法则）
- |A|=0 ⇒ 无解或无穷多解
二、克拉默法则
公式
- xⱼ = Dⱼ/D（D=|A|≠0，Dⱼ 是把第 j 列换成 b 所得行列式）
- 齐次方程组有非零解 ⇔ D=0
局限
- 只适用方程个数等于未知数个数且 |A|≠0；计算量大
三、解的结构
齐次解的性质
- 解的线性组合仍是解（解集构成向量空间）
- 基础解系：n-r 个线性无关的解，任一解可由其表示
非齐次解的结构
- 通解 = 一个特解 η* + 齐次通解 k₁ξ₁+…+kₙ₋ᵣξₙ₋ᵣ
- 两解之差是齐次解；一解加齐次解仍是非齐次解
四、求解步骤
标准流程
- 写出增广矩阵 (A|b)
- 初等行变换化为行最简形
- 读秩判解的情况
- 选自由未知量，写基础解系
- 写出通解（含任意常数）
常见题型
- 含参数方程组：按参数取值讨论秩的变化
- 已知解的结构反求参数或矩阵
5996
评论 0 条
还没有评论，来抢沙发吧